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\title{材料力学期末复习}

\begin{document}

\begin{multicols}{3}
作者: Airocéan\footnote{airocean@mail.ustc.edu.cn, a@airocean.cn, airocean@foxmail.com}\footnote{https://airocean.cn, https://www.zhihu.com/people/airoceanlyu}\\
质量含气率：$x=M''/M$\\
$$
i=xi''+(1-x)i'
$$
\begin{equation*}
x=\cfrac{i-i'}{i''-i'}
\end{equation*}
容积含气率：$\beta=V''/V$\\
\begin{align}
\beta=\cfrac{x/\rho''}{x/\rho''+(1-x)/\rho'} \notag
\end{align}
截面含气率：$\alpha=A''/A$\\
\begin{align}
\rho&=\cfrac MV \notag\\
\rho'&=\cfrac {M'}{V'}\notag\\
\rho''&=\cfrac {M''}{V''}\notag\\
\beta&=\cfrac 1{1+\cfrac{(1-x)}x\cfrac{\rho''}{\rho'}}\notag\\
\alpha&=\cfrac 1{1+\cfrac{(1-x)}x\cfrac{\rho''W''}{\rho'W'}}\notag
\end{align}
质量流速：$G=M/A$\\
\begin{align}
G'=M'/A \quad G''=M''/A \notag
\end{align}
平均速度：
\begin{align}
W'=V'/A' \quad W''=V''/A'' \notag
\end{align}
折算速度：
\begin{align}
j=\cfrac VA =j_{\rm g}+j_{\rm l}=\cfrac {V'}A+\cfrac{V''}A \notag\\
j_{\rm g}=\alpha W'', \quad j_{\rm l}=(1-\alpha)W' \notag
\end{align}
气相漂移速度：$W_{\rm gm}=W''-j$\\
液相漂移速度：$W_{\rm lm}=W'-j$\\
气相漂移通量：
\begin{align}
j_{\rm gm}&=\cfrac {A''}A(W''-j) \notag\\
&=j_{\rm g}-\alpha j \notag
\end{align}
液相漂移通量：
\begin{align}
j_{\rm lm}&=\cfrac {A'}A(W'-j) \notag\\
&=\alpha j-j_{\rm g} \notag
\end{align}
这2飘移通量是逆向过程，提前在后面知道好用，才弄过来的。\\
循环速度：两相混合物总质量流量$M$相等的液相介质流过同一截面的通量时的速度
\begin{equation*}
W_{\rm o}=\cfrac M{\rho'A}=\cfrac{\rho''}{\rho'}j_{\rm g}+j_{\rm l}
\end{equation*}
循环倍率：单位时间内，流过通量某一截面的两相介质总质量与其气相总质量的比
\begin{equation*}
K'=\cfrac M{M''}=\cfrac 1x=\cfrac{W_{\rm o}\rho'}{j_{\rm g}\rho''}
\end{equation*}
滑速比：$S=W''/W'$\\
相对速度：$W_{\rm xd}=W''-W'$\\
影响$S$的因素很多，一般根据实验得到。当两公式竖直上升流动时，由于浮力作用，使得$W''>W',\;S>1$，则$\beta>\alpha$，下降时相反。\\
两相介质的流动密度：
指单位时间内流过流道某一横截面的两相介质质量和体积之比
\begin{equation*}
\rho_{\rm m}=\cfrac MV=\beta\rho''+(1-\beta)\rho'
\end{equation*}
两相介质的真实密度：
单位体积内两相介质的质量，来源于：
\begin{equation*}
\rho''A''\Delta L+\rho'A'\Delta L=[\rho''\alpha+\rho'(1-\alpha)]A\Delta L
\end{equation*}
\begin{equation*}
\rho_{\rm o}=\alpha\rho''+(1-\alpha)\rho'
\end{equation*}
两相介质比体积
\begin{equation*}
v_{\rm m}=\cfrac VM=\cfrac1{\rho_{\rm m}}=xv''+(1-x)v'
\end{equation*}
截面平均比体积
\begin{align}
v_{\rm A }&=\cfrac{(1-x)v'S+xv''}{x+(1-x)S} \notag\\
&=\cfrac 1{\alpha\rho''+(1-\alpha)\rho'} \notag
\end{align}
动量平均比体积
\begin{equation*}
v_{\rm M}=\cfrac{(1-x)^2v'}{1-\alpha}+\cfrac{x^2v''}{\alpha}
\end{equation*}
竖直上升不加热管P9：\\
泡状、弹状、搅浑、环状、（细束环状流）\\
竖直上升加热管P10\\
单相液、泡状、弹状、环状、雾状、单相气\\
水平管不加热：\\
泡状、塞状、分层、波状、弹状、环状\\
单相连续方程：
\begin{equation*}
M=\rho WA=\rm Const
\end{equation*}
单相动量方程、定常流动：
\begin{equation*}
-\cfrac{\partial p}{\partial z}=\cfrac{\tau_{\rm o }P_{\rm h}}A+\rho g \sin \theta + \rho W\cfrac{\partial W}{\partial z}
\end{equation*}
\begin{equation*}
-\cfrac{\partial p}{\partial z}=\cfrac{\tau_{\rm o }P_{\rm h}}A+\rho g \sin \theta + \cfrac 1A\cfrac{\partial (MW)}{\partial z}
\end{equation*}
其中右一摩擦压降梯度，二重力压降梯度，三加速度压降梯度\\
单相能量方程：
\begin{equation*}
\mathrm d q_{\rm o}=\mathrm dU+\mathrm d\left(\cfrac{W^2}{2}\right)+\mathrm d(pV)+g\sin \theta \mathrm dz
\end{equation*}
分相流连续：
\begin{align}
M&=M'+M'' \notag\\
&=\rho''W''\alpha A+\rho'W'(1-\alpha)A \notag\\
&=\rm Const\notag
\end{align}
分相流动量：
\begin{align}
-\cfrac{\mathrm dp}{\mathrm dz}=&\cfrac{\tau_{\rm o}P_{\rm h}}A+\rho_{\rm o}g\sin \theta+\notag\\
&G^2\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}\left[\cfrac{(1-x)^2}{\rho'(1-\alpha)}+\cfrac{x^2}{\rho''\alpha}\right]\notag
\end{align}
动量用得少\\
均相流连续方程（与焓$i$类似）：
\begin{equation*}
v_{\rm m}=xv''+(1-x)v'
\end{equation*}
均相流动量方程（能量方程和它相同）：
\begin{equation*}
\cfrac{\mathrm dp}{\mathrm dz}=\cfrac{\tau_{\rm o }P_{\rm h}}A+\rho_{\rm m} g \sin \theta +G^2\cfrac{\mathrm dv_{\rm m}}{\mathrm dz}
\end{equation*}
截面含气率：
\begin{equation*}
\alpha=\cfrac1{1+\left(\dfrac{1-x}{x}\right)\dfrac{\rho''}{\rho'}S}=\cfrac1{1+\left(\dfrac{1-\beta}{\beta}\right)S}
\end{equation*}
\begin{align}
Fr'=\cfrac{G^2}{gD \rho'^2} \notag
\end{align}
混合相-单相并流模型：\\
$E$均匀混合物中液相质量和总的液相质量之比，$E=1$时，
\begin{equation*}
\alpha=\beta=\cfrac1{1+\dfrac{\rho''}{\rho'}\left(\dfrac{1-x}x\right)}
\end{equation*}
$E=0$时：
\begin{equation*}
\alpha=\cfrac1{1+\left(\dfrac{1-x}{x}\right)\left(\dfrac{\rho''}{\rho'}\right)^{0.5}}
\end{equation*}
漂移流模型：\\
加尖括号的是截面取平均：
\begin{equation*}
\langle F \rangle=\cfrac 1A\int_A F \mathrm dA
\end{equation*}
横线是加权取平均：
\begin{equation*}
\bar{F}=\cfrac{\langle\alpha F\rangle}{\langle \alpha\rangle }=\cfrac{\cfrac 1A\displaystyle \int_A\alpha F\mathrm dA}{\displaystyle \cfrac 1A \int _A\alpha\mathrm dA}
\end{equation*}
\begin{equation*}
C_{\rm o}=\cfrac{\langle\alpha j\rangle}{\langle \alpha\rangle \langle j\rangle}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\langle  \beta \rangle=\cfrac{\langle  j_{\rm g}\rangle}{\langle  j \rangle}=\left\langle  \dfrac{V''}{V}\right\rangle
\end{equation*}
\begin{equation*}
\langle\alpha\rangle=\frac{\langle\beta\rangle}{C_{o}+\cfrac{\left\langle\alpha W_{\rm g m}\right\rangle}{\langle\alpha\rangle\langle j\rangle}}=\cfrac{\beta}{C_{\rm o}+\cfrac{\bar{W}_{\rm gm}}{\langle j\rangle }}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\langle\alpha\rangle=\frac{\langle\beta\rangle}{C_{o}+\cfrac{\left\langle\alpha W_{\rm g m}\right\rangle}{\langle\alpha\rangle\langle j\rangle}}
\end{equation*}
$C_{\rm o}$表示流速和气相含量的分布规律，$\langle\alpha W_{\rm gm}\rangle/\langle \alpha\rangle$表示局部位置的相对速度\\
加热通道内流动区域的划分：单相、深度欠热、轻度欠热、饱和沸腾，其中有壁面效应、容积效应，书P50。\\热平衡关系式：
\begin{equation*}
q''\pi Dz_{\rm A}=Mc_{\rm p}(T_{\rm A}-T_{\rm i})
\end{equation*}
D-B公式：
\begin{equation*}
h_{\rm f}=0.023\cfrac{k_{\rm f}}{D_{\rm e}}Re^{0.8}Pr^{0.4}
\end{equation*}
\begin{equation*}
Nu=\cfrac{h_{\rm f}D_{\rm e}}{k_{\rm f }}=\cfrac{q''D_{\rm e}}{k_{\rm f}(T_{\rm s}-T_{\rm B})}
\end{equation*}
\begin{equation*}
St=\cfrac{h_{\rm f }}{c_{\rm p}W_{\rm o}\rho'}=\cfrac{q''}{Gc_{\rm p}(T_{\rm s}-T_{\rm B})}
\end{equation*}
\begin{align}
Pe&=\cfrac{Gc_{\rm p}D_{\rm e}}{k_{\rm f}} \notag\\
Pe&=Re\cdot Pr\notag\\
Nu&=Pe\cdot St  \notag
\end{align}
当$Pe\le70000$时：
\begin{align}
Nu=\cfrac{q''D_{\rm e}}{k_{\rm f}\Delta T_{\rm B}}=455 \notag\\
\Delta T_{\rm B}=0.0022\times\cfrac{q''D_{\rm e}}{k_{\rm f}} \notag
\end{align}
当$Pe>70000$时：
\begin{align}
St=\cfrac{q''}{Gc_{\rm p}\Delta T_{\rm B}}=0.0065 \notag\\
\Delta T_{\rm B}=154\times\cfrac{\rho''}{Gc_{\rm p}} \notag
\end{align}
\begin{align}
S&=\cfrac{\bar{W}''}{\bar{W}'}\notag\\
&=\frac{<1-\alpha>}{1 \left/\left(C_{0}+\cfrac{<\alpha W_{g m}>}{\langle\alpha\rangle<j>}\right)\right.-\langle\alpha\rangle}\notag\\
\langle\alpha\rangle&=\cfrac{x_{\mathrm{T}}}{C_{\mathrm{o}}\left[\cfrac{x_{\mathrm{T}}\left(\rho^{\prime}-\rho^{\prime \prime}\right)}{\rho^{\prime}}+\cfrac{\rho^{\prime \prime}}{\rho^{\prime}}\right]+\cfrac{\rho^{\prime \prime} \bar{W}_{\mathrm{gm}}}{G}} \notag
\end{align}
均匀加热情况：
\begin{align}
\cfrac{q_{\rm z}}{q_{\rm t}}=\cfrac zL=\cfrac{(i'+x_{\rm z}i_{\rm fg})-i_{\rm i}}{(i'+x_{\rm out }i_{\rm fg})-i_{\rm i}}\notag\\
x_{\rm z}=\{i_{\rm i }-i'+\cfrac zL[(i'+x_{\rm out}i_{\rm fg}-i_{\rm i}]\}/i_{\rm fg}\notag 
\end{align}
当$x=0$时，$z=L_{\rm o}$，
\begin{equation*}
L_{\rm o}=\cfrac{i'-i_{\rm i}}{(i'+x_{\rm out}i_{\rm fg})-i_{\rm i}}L
\end{equation*}
Blasius公式：
\begin{equation}
\lambda_{\mathrm{lo}}=0.3164 R e_{\mathrm{f}}^{-0.25}=0.3164\left(\frac{G D}{\mu^{\prime}}\right)^{-0.25} \notag
\end{equation}
均相流模型：
\begin{align}
\left(\cfrac{\mathrm d p_{\rm f}}{\mathrm dz}\right)_{\rm lo}&=\cfrac{\lambda_{\rm lo}}D\cdot\cfrac{\rho'}{2}W_{\rm o}^2\notag\\
&= \cfrac{\lambda_{\rm lo}}D\cdot\cfrac{G^2}{2}v'\notag \\
\Phi_{\mathrm{lo}}^{2}&=\left[1+x\left(\frac{v^{\prime \prime}}{v^{\prime}}-1\right)\right]\cdot\notag\\&\quad\left[1+x\left(\frac{\mu^{\prime}}{\mu^{\prime \prime}}-1\right)\right]^{-1 / 4}\notag\\
\cfrac{\mathrm d p_{\rm f}}{\mathrm dz}&=\Phi_{\rm lo}^2\left(\cfrac{\mathrm d p_{\rm f}}{\mathrm dz}\right)_{\rm lo} \notag
\end{align}
\begin{equation*}
\cfrac 1\mu = \cfrac x{\mu''}+\cfrac{(1-x)}{\mu'}
\end{equation*}
分相流模型：
\begin{equation}
\Phi_{\rm l/g}^{2}=\cfrac{\cfrac{\mathrm{d} p_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d} z}}{\left(\cfrac{\mathrm{d} p_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d} z}\right)_{\rm l/g}} \notag
\end{equation}
\begin{equation*}
\Phi_{\rm l}^2
=(1-\alpha)^{\frac{n-5}2}
\end{equation*}
\begin{equation}
X^{2}=\cfrac{\left(\cfrac{\mathrm{d} p_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d} z}\right)_{1}}{\left(\cfrac{\mathrm{d} p_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d} z}\right)_{\mathrm{g}}}=\cfrac{\Phi_{\rm g}^2}{\Phi_{\rm l}^2} \notag
\end{equation}
\begin{equation*}
\Phi_{\rm l}^2=1+\cfrac c X+\cfrac 1 {X^2}
\end{equation*}
系数$c$的值：tt 20, lt 12, tl 10, ll 5.\\
动量方程的重位压力梯度为：
\begin{equation*}
\cfrac{\mathrm dp_{\rm g}}{\mathrm d z}=\rho_{\rm o}g \sin \theta
\end{equation*}
\begin{equation*}
\Delta p_{\rm a}=G^2 \left[x_{\rm e}\left(\cfrac 1{\rho''}-\cfrac 1{\rho'}\right)\right]
\end{equation*}
\begin{equation*}
G^2_{\rm c}=-\left(\cfrac{\mathrm dV_{\rm m}}{\mathrm dp}\right)^{-1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
v_{\rm m}=v'(1-x)+v''x
\end{equation*}
\begin{equation*}
S^*=\sqrt{v''/v'}
\end{equation*}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} p}=-\left(\frac{1-x}{i_{\mathrm{fg}}} \frac{\mathrm{d} i^{\prime}}{\mathrm{d} p}\right)-\left(\frac{x}{i_{\mathrm{fg}}} \frac{\mathrm{d} i^{\prime \prime}}{\mathrm{d} p}\right) \notag
\end{equation}
对于$L/D$超过12的长孔道，临界压比大约为0.55。



























\end{multicols}

\end{document}